सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $n^{2}-n$,$2$ से विभाज्य है।

हम जानते हैं कि कोई भी धनात्मक पूर्णांक $n$,$2m$ या $2m+1$ के रूप में होता है,जहाँ $m$ एक ऋणेतर पूर्णांक है।
स्थिति $1$: यदि $n = 2m$ है,तो
$n^{2} - n = (2m)^{2} - (2m) = 4m^{2} - 2m = 2(2m^{2} - m)$.
चूँकि $2(2m^{2} - m)$,$2$ का एक गुणज है,इसलिए $n^{2} - n$,$2$ से विभाज्य है।
स्थिति $2$: यदि $n = 2m + 1$ है,तो
$n^{2} - n = (2m + 1)^{2} - (2m + 1) = (4m^{2} + 4m + 1) - 2m - 1 = 4m^{2} + 2m = 2(2m^{2} + m)$.
चूँकि $2(2m^{2} + m)$,$2$ का एक गुणज है,इसलिए $n^{2} - n$,$2$ से विभाज्य है।
अतः,दोनों स्थितियों में,प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $n^{2} - n$,$2$ से विभाज्य है।