सिद्ध कीजिए कि $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में $x^{n}$ का गुणांक,$(1+x)^{2n-1}$ के विस्तार में $x^{n}$ के गुणांक का दोगुना है।

$(a+b)^{m}$ के द्विपद विस्तार में सामान्य पद $(T_{r+1})$ को $T_{r+1} = {}^{m}C_{r} a^{m-r} b^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1+x)^{2n}$ के विस्तार के लिए,$x^{n}$ का गुणांक $r=n$ रखकर प्राप्त किया जाता है:
गुणांक $= {}^{2n}C_{n} = \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$ ........... $(1)$
$(1+x)^{2n-1}$ के विस्तार के लिए,$x^{n}$ का गुणांक $r=n$ रखकर प्राप्त किया जाता है:
गुणांक $= {}^{2n-1}C_{n} = \frac{(2n-1)!}{n!(2n-1-n)!} = \frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}$
अंश और हर को $2n$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2n \cdot (2n-1)!}{2n \cdot n!(n-1)!} = \frac{(2n)!}{2 \cdot n! \cdot n!} = \frac{1}{2} \left[ \frac{(2n)!}{(n!)^2} \right]$ ........... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
${}^{2n}C_{n} = 2 \cdot {}^{2n-1}C_{n}$
अतः,$(1+x)^{2n}$ में $x^{n}$ का गुणांक $(1+x)^{2n-1}$ में $x^{n}$ के गुणांक का दोगुना है।