સાબિત કરો કે રેખાઓ $x=p y+q, z=r y+s$ અને $x=p^{\prime} y+q^{\prime}, z=r^{\prime} y+s^{\prime}$ પરસ્પર લંબ છે જો $p p^{\prime}+r r^{\prime}+1=0$ હોય.

(A) પ્રથમ રેખાના આપેલા સમીકરણો $x=p y+q$ અને $z=r y+s$ છે.
આને $\frac{x-q}{p} = y = \frac{z-s}{r}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આમ,પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $(p, 1, r)$ છે.
તે જ રીતે,બીજી રેખાના સમીકરણો $x=p^{\prime} y+q^{\prime}$ અને $z=r^{\prime} y+s^{\prime}$ છે.
આને $\frac{x-q^{\prime}}{p^{\prime}} = y = \frac{z-s^{\prime}}{r^{\prime}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આમ,બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $(p^{\prime}, 1, r^{\prime})$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તે પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
દિકગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $(p)(p^{\prime}) + (1)(1) + (r)(r^{\prime}) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $p p^{\prime} + r r^{\prime} + 1 = 0$ થાય છે.
તેથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે જો $p p^{\prime} + r r^{\prime} + 1 = 0$ હોય.