सिद्ध कीजिए कि एक समबाहु त्रिभुज की माध्यिकाए | vedclass

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Question

(A) माना $	riangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जहाँ $AB = BC = CA = a$ है। माना $AD$,$BE$,और $CF$ क्रमशः भुजाओं $BC$,$AC$,और $AB$ पर खींची गई माध्यिकाए

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Yes

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(A) माना $	riangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जहाँ $AB = BC = CA = a$ है। माना $AD$,$BE$,और $CF$ क्रमशः भुजाओं $BC$,$AC$,और $AB$ पर खींची गई माध्यिकाएँ हैं। एक समबाहु त्रिभुज में,माध्यिका ही शीर्षलंब (altitude) भी होती है। $	riangle ABD$ में,$\angle ADB = 90^\circ$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AD^2 = AB^2 - BD^2$। चूँकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = a/2$ होगा। $AD^2 = a^2 - (a/2)^2 = a^2 - a^2/4 = 3a^2/4$। अतः,$AD = (a\sqrt{3})/2$। इसी प्रकार,माध्यिका $BE$ के लिए,$	riangle BCE$ में,$BE^2 = BC^2 - CE^2 = a^2 - (a/2)^2 = 3a^2/4$। अतः,$BE = (a\sqrt{3})/2$। इसी प्रकार,$CF = (a\sqrt{3})/2$। चूँकि $AD = BE = CF = (a\sqrt{3})/2$ है,इसलिए समबाहु त्रिभुज की माध्यिकाएँ समान होती हैं।

सिद्ध कीजिए कि एक समबाहु त्रिभुज की माध्यिकाएँ समान होती हैं।

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