निम्नलिखित सर्वसमिका को सिद्ध कीजिए,जहाँ कोण न्यून कोण हैं जिनके लिए व्यंजक परिभाषित हैं:
$\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}=\operatorname{cosec} A+\cot A$,सर्वसमिका $\operatorname{cosec}^{2} A=1+\cot ^{2} A$ का प्रयोग करके।

(N/A) सिद्ध करना है: $\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}=\operatorname{cosec} A+\cot A$
$L.H.S. = \frac{\cos A - \sin A + 1}{\cos A + \sin A - 1}$
अंश और हर को $\sin A$ से भाग देने पर:
$= \frac{\frac{\cos A}{\sin A} - \frac{\sin A}{\sin A} + \frac{1}{\sin A}}{\frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\sin A}{\sin A} - \frac{1}{\sin A}}$
$= \frac{\cot A - 1 + \operatorname{cosec} A}{\cot A + 1 - \operatorname{cosec} A}$
अंश में सर्वसमिका $1 = \operatorname{cosec}^{2} A - \cot^{2} A$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\cot A + \operatorname{cosec} A - (\operatorname{cosec}^{2} A - \cot^{2} A)}{\cot A - \operatorname{cosec} A + 1}$
$= \frac{(\cot A + \operatorname{cosec} A) - (\operatorname{cosec} A - \cot A)(\operatorname{cosec} A + \cot A)}{\cot A - \operatorname{cosec} A + 1}$
$(\cot A + \operatorname{cosec} A)$ को कॉमन लेने पर:
$= \frac{(\cot A + \operatorname{cosec} A) [1 - (\operatorname{cosec} A - \cot A)]}{\cot A - \operatorname{cosec} A + 1}$
$= \frac{(\cot A + \operatorname{cosec} A) (1 - \operatorname{cosec} A + \cot A)}{\cot A - \operatorname{cosec} A + 1}$
चूँकि $(1 - \operatorname{cosec} A + \cot A) = (\cot A - \operatorname{cosec} A + 1)$,वे कट जाएंगे:
$= \cot A + \operatorname{cosec} A = R.H.S.$