ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $n^{3}-7n+3$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $P(n): n^{3}-7n+3$ એ તમામ $n \in N$ માટે $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$P(1) = (1)^{3}-7(1)+3 = 1-7+3 = -3$.
$-3$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $k \in N$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $k^{3}-7k+3 = 3m$,જ્યાં $m$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$P(k+1) = (k+1)^{3}-7(k+1)+3$
$= (k^{3}+3k^{2}+3k+1) - 7k - 7 + 3$
$= (k^{3}-7k+3) + 3k^{2}+3k-6$
$= 3m + 3(k^{2}+k-2)$
$= 3(m+k^{2}+k-2)$.
આમ,$3(m+k^{2}+k-2)$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,$P(k+1)$ સત્ય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.