गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि:
$2n < (n+2)!$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए।
$2n < (n+2)!$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए।
(N/A) माना $P(n): 2n < (n+2)!$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$P(1): 2(1) < (1+2)! \implies 2 < 3! \implies 2 < 6$,जो सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए $P(k)$ किसी $k \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है,अर्थात $2k < (k+2)!$।
चरण $3$: हमें $P(k+1): 2(k+1) < (k+3)!$ सिद्ध करना है।
मान्यता $2k < (k+2)!$ से शुरू करते हुए,दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर:
$2k + 2 < (k+2)! + 2$
$2(k+1) < (k+2)! + 2$
चूंकि $(k+2)! + 2 < (k+2)! \times (k+3)$ सभी $k \ge 1$ के लिए सत्य है,
इसलिए $2(k+1) < (k+2)! + 2 < (k+3)!$।
अतः,$2(k+1) < (k+3)!$,जिसका अर्थ है कि $P(k+1)$ सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$P(1): 2(1) < (1+2)! \implies 2 < 3! \implies 2 < 6$,जो सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए $P(k)$ किसी $k \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है,अर्थात $2k < (k+2)!$।
चरण $3$: हमें $P(k+1): 2(k+1) < (k+3)!$ सिद्ध करना है।
मान्यता $2k < (k+2)!$ से शुरू करते हुए,दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर:
$2k + 2 < (k+2)! + 2$
$2(k+1) < (k+2)! + 2$
चूंकि $(k+2)! + 2 < (k+2)! \times (k+3)$ सभी $k \ge 1$ के लिए सत्य है,
इसलिए $2(k+1) < (k+2)! + 2 < (k+3)!$।
अतः,$2(k+1) < (k+3)!$,जिसका अर्थ है कि $P(k+1)$ सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।
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