ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: $\sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}}$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \geq 2$ માટે.

(N/A) ધારો કે $P(n): \sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}}$,જ્યાં $n \geq 2$.
$n=2$ માટે,$P(2): \sqrt{2} < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 1.707$. $\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,$1.414 < 1.707$ સત્ય છે.
ધારો કે $P(k)$ સત્ય છે: $\sqrt{k} < \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{\sqrt{i}}$.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1): \sqrt{k+1} < \sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{i}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{k+1} - \sqrt{k} = \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} < \frac{1}{\sqrt{k+1}}$.
તેથી,$\sqrt{k+1} < \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} < \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{\sqrt{i}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} = \sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{i}}$.
આમ,$P(k+1)$ સત્ય છે. ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ તમામ $n \geq 2$ માટે સત્ય છે.