ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિતી આપો:
$1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2n-1)^{2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): 1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2n-1)^{2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$
$n=1$ માટે,આપણી પાસે છે
$P(1)=1^{2}=1=\frac{1(2(1)-1)(2(1)+1)}{3}=\frac{1 \times 1 \times 3}{3}=1$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$P(k): 1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2k-1)^{2}=\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$ $(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$(k+1)$ પદો સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$\left\{1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2k-1)^{2}\right\}+\{2(k+1)-1\}^{2}$
$= \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^{2}$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= \frac{k(2k-1)(2k+1) + 3(2k+1)^{2}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{k(2k-1) + 3(2k+1)\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k^{2}-k+6k+3\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k^{2}+5k+3\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k^{2}+2k+3k+3\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k(k+1)+3(k+1)\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3}$
$= \frac{(k+1)\{2(k+1)-1\}\{2(k+1)+1\}}{3}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે સત્ય છે.