ગણિતના અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $n$ ભિન્ન ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણોની સંખ્યા $2^{n}$ છે,જ્યાં $n \in N$.

(N/A) $P(n):$ $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણોની સંખ્યા $2^{n}$ છે,જ્યાં $n \in N$.
$n=1$ માટે:
ધારો કે $A$ એક ઘટક ધરાવતો ગણ છે,$A = \{x\}$.
$A$ ના ઉપગણો $\phi$ અને $A$ છે.
$A$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2 = 2^{1}$ છે.
આમ,$P(1)$ સત્ય છે.
ધારો કે $P(k)$ કોઈ $k \in N$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $k$ ઘટકો ધરાવતા ગણના $2^{k}$ ઉપગણો છે.
હવે,આપણે $n = k+1$ માટે સાબિત કરીશું.
ધારો કે $A = \{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}, a_{k+1}\}$.
$A$ ના ઉપગણોને બે પ્રકારમાં વહેંચી શકાય છે: જે $a_{k+1}$ ધરાવતા નથી અને જે $a_{k+1}$ ધરાવે છે.
$a_{k+1}$ ન ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા $\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\}$ ના ઉપગણોની સંખ્યા જેટલી છે,જે ધારણા $P(k)$ મુજબ $2^{k}$ છે.
$a_{k+1}$ ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા પણ $2^{k}$ છે (દરેક ઉપગણ $\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\}$ ના $2^{k}$ ઉપગણોમાં $a_{k+1}$ ઉમેરીને બનાવવામાં આવે છે).
તેથી,$A$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^{k} + 2^{k} = 2 \cdot 2^{k} = 2^{k+1}$ છે.
આમ,$P(k+1)$ સત્ય છે.
તેથી,ગણિતના અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.