બધા n in N માટે,2^{2n+1} + 3^{2n+1} એ કોના વડ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ છે.$n = 1$ માટે:$P(1) = 2^{2(1)+1} + 3^{2(1)+1} = 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$.$35$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોવ

Vedclass · Accepted Answer

$5$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ છે.$n = 1$ માટે:$P(1) = 2^{2(1)+1} + 3^{2(1)+1} = 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$.$35$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.ધારો કે કોઈ $m \in N$ માટે $P(m)$ સત્ય છે,એટલે કે $2^{2m+1} + 3^{2m+1} = 5k$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.તેથી $2^{2m+1} = 5k - 3^{2m+1} \quad (i)$.હવે,$P(m+1)$ માટે:$P(m+1) = 2^{2(m+1)+1} + 3^{2(m+1)+1} = 2^{2m+3} + 3^{2m+3}$.$P(m+1) = 2^2 \cdot 2^{2m+1} + 3^2 \cdot 3^{2m+1}$.$(i)$ પરથી કિંમત મૂકતા:$P(m+1) = 4(5k - 3^{2m+1}) + 9 \cdot 3^{2m+1}$.$P(m+1) = 20k - 4 \cdot 3^{2m+1} + 9 \cdot 3^{2m+1}$.$P(m+1) = 20k + 5 \cdot 3^{2m+1} = 5(4k + 3^{2m+1})$.આમ,$5(4k + 3^{2m+1})$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $P(m+1)$ સત્ય છે.ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,બધા $n \in N$ માટે $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.

બધા $n \in N$ માટે,$2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

Similar Questions

જો $P(n): 2^{n} < n!$ હોય,તો $P(n)$ સત્ય હોય તેવો સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક કયો છે?

કઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે,અસમતા $2^n > n+1$ સાચી છે?

ધારો કે $P(n)$ એક વિધાન છે અને તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $P(n) \implies P(n + 1)$ છે,તો $P(n)$ ક્યારે સત્ય છે?

જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય,તો $2 \cdot 4^{2n+1} + 3^{3n+1}$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$n(n+1)(n+5)$ એ $3$ નો ગુણક છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module