જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય,તો $2 \cdot 4^{2n+1} + 3^{3n+1}$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેના સાબિત કરો:
$3 \times 6 + 6 \times 9 + 9 \times 12 + \ldots + (3n)(3n + 3) = 3n(n + 1)(n + 2)$

બધી જ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે,$3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1}$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન દર્શાવે છે કે $n^2 + n$ એકી સંખ્યા છે. તે જોવામાં આવે છે કે $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$. $P(n)$ એ તમામ માટે સાચું છે:

જ્યારે $P$ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,ત્યારે ${P^{n + 1}} + {(P + 1)^{2n - 1}}$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનું સાબિત કરો:
$1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \ldots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$