गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,$7^{n}-2^{n}$,$5$ से विभाज्य है।

(N/A) माना $P(n): 7^{n}-2^{n}$,$5$ से विभाज्य है।
$n=1$ के लिए:
$P(1): 7^{1}-2^{1} = 7-2 = 5$,जो $5$ से विभाज्य है।
अतः,$P(1)$ सत्य है।
माना कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है:
$P(k): 7^{k}-2^{k} = 5m$,जहाँ $m \in N$ (समीकरण $i$)।
हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है:
$P(k+1): 7^{k+1}-2^{k+1} = 7 \cdot 7^{k} - 2 \cdot 2^{k}$
$= 7 \cdot 7^{k} - 7 \cdot 2^{k} + 7 \cdot 2^{k} - 2 \cdot 2^{k}$
$= 7(7^{k}-2^{k}) + 2^{k}(7-2)$
$= 7(5m) + 2^{k}(5)$
$= 5(7m + 2^{k})$
चूँकि $5(7m + 2^{k})$,$5$ का एक गुणज है,इसलिए $P(k+1)$ सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।