ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$7^{n}-2^{n}$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $P(n): 7^{n}-2^{n}$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
$n=1$ માટે:
$P(1): 7^{1}-2^{1} = 7-2 = 5$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ $k \in N$ માટે $P(k)$ સત્ય છે:
$P(k): 7^{k}-2^{k} = 5m$,જ્યાં $m \in N$ (સમીકરણ $i$).
આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે:
$P(k+1): 7^{k+1}-2^{k+1} = 7 \cdot 7^{k} - 2 \cdot 2^{k}$
$= 7 \cdot 7^{k} - 7 \cdot 2^{k} + 7 \cdot 2^{k} - 2 \cdot 2^{k}$
$= 7(7^{k}-2^{k}) + 2^{k}(7-2)$
$= 7(5m) + 2^{k}(5)$
$= 5(7m + 2^{k})$
કારણ કે $5(7m + 2^{k})$ એ $5$ નો ગુણક છે,તેથી $P(k+1)$ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.