एक मोनिक द्विघात बहुपद f(x) के लिए अंतराल [al | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = (x - \alpha)(x - k)$ है। चूँकि $f(x)$ मोनिक है, $x^2$ का गुणांक $1$ है। अंतराल $[\alpha, \alpha + 3]$ पर रोले का प्रमेय बताता है कि $

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-$2$

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(C) माना $f(x) = (x - \alpha)(x - k)$ है। चूँकि $f(x)$ मोनिक है, $x^2$ का गुणांक $1$ है। अंतराल $[\alpha, \alpha + 3]$ पर रोले का प्रमेय बताता है कि $f(\alpha) = f(\alpha + 3) = 0$, इसलिए $k = \alpha + 3$। अतः $f(x) = (x - \alpha)(x - \alpha - 3)$ है।$f(x)$ का शीर्ष $c$, $x = \frac{\alpha + (\alpha + 3)}{2} = \alpha + 1.5$ पर है।चूँकि $g(x) = f(x) + 2$, इसलिए $g'(x) = f'(x)$, अतः $g(x)$ का शीर्ष भी $c = \alpha + 1.5$ है।$g(x)$ के लिए $[\beta, 3]$ पर रोले का प्रमेय बताता है कि $g(\beta) = g(3) = 0$ है। चूँकि $g(x)$ एक परवलय है जिसका शीर्ष $x = c$ पर है, इसके मूल $c$ के सापेक्ष सममित हैं। अतः $\frac{\beta + 3}{2} = c = \alpha + 1.5$, जिससे $\beta + 3 = 2\alpha + 3$, अर्थात $\beta = 2\alpha$ प्राप्त होता है।चूँकि $g(3) = 0$, इसलिए $f(3) + 2 = 0$, जिससे $f(3) = -2$। $f(x)$ में $x=3$ रखने पर: $(3 - \alpha)(3 - \alpha - 3) = -2 \implies (3 - \alpha)(-\alpha) = -2 \implies \alpha^2 - 3\alpha - 2 = 0$।अब, $(f \circ g)(\alpha) = f(g(\alpha))$। चूँकि $g(x) = f(x) + 2$, $g(\alpha) = f(\alpha) + 2 = 0 + 2 = 2$।अतः $(f \circ g)(\alpha) = f(2) = (2 - \alpha)(2 - \alpha - 3) = (2 - \alpha)(-1 - \alpha) = - (2 - \alpha)(1 + \alpha) = - (2 + 2\alpha - \alpha - \alpha^2) = - (2 + \alpha - \alpha^2)$।चूँकि $\alpha^2 - 3\alpha - 2 = 0$, तो $\alpha^2 = 3\alpha + 2$। इसे प्रतिस्थापित करने पर: $-(2 + \alpha - (3\alpha + 2)) = -(-2\alpha) = 2\alpha$।दी गई शर्तों के अनुसार, $\alpha = 1$ द्विघात समीकरण को संतुष्ट करता है। तब $f(2) = (2-1)(2-1-3) = 1(-2) = -2$।

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