સાબિત કરો કે રેખીય $SHM$ માં રહેલા કણ માટે,દોલનનો એક આવર્તકાળ દરમિયાન સરેરાશ ગતિઊર્જા તે જ સમયગાળા દરમિયાન સરેરાશ સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે.

(N/A) $SHM$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ કોણીય આવૃત્તિ છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos \omega t$ છે.
ગતિઊર્જા $E_k = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} M A^2 \omega^2 \cos^2 \omega t$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t$ છે.
$T$ આવર્તકાળ પર સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle E_k \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T E_k dt = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} M A^2 \omega^2 \cos^2 \omega t dt$ છે.
$\cos^2 \omega t = \frac{1 + \cos 2 \omega t}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\langle E_k \rangle = \frac{M A^2 \omega^2}{2T} \int_0^T \frac{1 + \cos 2 \omega t}{2} dt = \frac{M A^2 \omega^2}{4T} [t + \frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega}]_0^T = \frac{1}{4} M A^2 \omega^2 \dots (i)$ મળે છે.
$T$ આવર્તકાળ પર સરેરાશ સ્થિતિઊર્જા $\langle E_p \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T E_p dt = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t dt$ છે.
$\sin^2 \omega t = \frac{1 - \cos 2 \omega t}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\langle E_p \rangle = \frac{M \omega^2 A^2}{2T} \int_0^T \frac{1 - \cos 2 \omega t}{2} dt = \frac{M \omega^2 A^2}{4T} [t - \frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega}]_0^T = \frac{1}{4} M A^2 \omega^2 \dots (ii)$ મળે છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\langle E_k \rangle = \langle E_p \rangle$.