सिद्ध कीजिए कि रेखाओं $y=m_{1}x+c_{1}$,$y=m_{2}x+c_{2}$ और $x=0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{(c_{1}-c_{2})^{2}}{2|m_{1}-m_{2}|}$ है।

(N/A) दी गई रेखाएँ हैं:
$y=m_{1}x+c_{1}$ ..... $(1)$
$y=m_{2}x+c_{2}$ ..... $(2)$
$x=0$ ..... $(3)$
हम जानते हैं कि रेखा $y=mx+c$,रेखा $x=0$ ($y$-अक्ष) को बिंदु $(0, c)$ पर मिलती है। अतः,रेखाओं $(1)$,$(2)$ और $(3)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज के दो शीर्ष $P(0, c_{1})$ और $Q(0, c_{2})$ हैं।
तीसरा शीर्ष $R$,समीकरणों $(1)$ और $(2)$ को हल करके प्राप्त किया जा सकता है:
$m_{1}x+c_{1} = m_{2}x+c_{2}$
$x(m_{1}-m_{2}) = c_{2}-c_{1}$
$x = \frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}$
$x$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$y = m_{1}\left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) + c_{1} = \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}$
अतः,$R = \left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2}-y_{3}) + x_{2}(y_{3}-y_{1}) + x_{3}(y_{1}-y_{2})|$.
यहाँ शीर्ष $(0, c_{1}), (0, c_{2}), \left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)$ हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(c_{2} - y_{R}) + 0(y_{R} - c_{1}) + \frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}(c_{1}-c_{2})|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{-(c_{2}-c_{1})^{2}}{m_{1}-m_{2}}| = \frac{(c_{1}-c_{2})^{2}}{2|m_{1}-m_{2}|}$.