સાબિત કરો કે વિકલ સમીકરણ $(x-y) \frac{dy}{dx} = x+2y$ એ સમપરિમાણીય છે અને તેનો ઉકેલ મેળવો.

(N/A) આપેલ વિકલ સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y}{x-y}$ ............$(1)$
ધારો કે $F(x, y) = \frac{x+2y}{x-y}$.
હવે $F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda(x+2y)}{\lambda(x-y)} = \lambda^0 \cdot F(x, y)$.
તેથી,$F(x, y)$ એ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે. આમ,આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,
$\frac{dy}{dx} = \frac{1+2(y/x)}{1-(y/x)} = g(y/x)$ .............$(2)$
અહીં $R.H.S.$ એ $y/x$ નું વિધેય હોવાથી તે શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
ઉકેલવા માટે,$y = vx$ આદેશ લો ...........$(3)$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ ...........$(4)$
$(3)$ અને $(4)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1+2v}{1-v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+2v}{1-v} - v = \frac{v^2+v+1}{1-v}$
$\frac{v-1}{v^2+v+1} dv = -\frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{v-1}{v^2+v+1} dv = -\int \frac{dx}{x}$
$\frac{1}{2} \log|v^2+v+1| - \sqrt{3} \tan^{-1}\left(\frac{2v+1}{\sqrt{3}}\right) = -\log|x| + C_1$
$v = y/x$ મૂકતા:
$\log|x^2+xy+y^2| = 2\sqrt{3} \tan^{-1}\left(\frac{2y+x}{\sqrt{3}x}\right) + C$.