दर्शाइए कि अवकल समीकरण $(x-y) \frac{dy}{dx} = x+2y$ समघातीय है और इसे हल कीजिए।

(N/A) दिए गए अवकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y}{x-y}$ ............$(1)$
माना $F(x, y) = \frac{x+2y}{x-y}$.
अब $F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda(x+2y)}{\lambda(x-y)} = \lambda^0 \cdot F(x, y)$.
अतः,$F(x, y)$ शून्य घात का एक समघातीय फलन है। इसलिए,दिया गया अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है।
वैकल्पिक रूप से,
$\frac{dy}{dx} = \frac{1+2(y/x)}{1-(y/x)} = g(y/x)$ .............$(2)$
चूंकि $R.H.S.$ $y/x$ का फलन है,यह शून्य घात का समघातीय फलन है।
इसे हल करने के लिए,$y = vx$ प्रतिस्थापन करते हैं ...........$(3)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ ...........$(4)$
$(3)$ और $(4)$ को $(1)$ में रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1+2v}{1-v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+2v}{1-v} - v = \frac{v^2+v+1}{1-v}$
$\frac{v-1}{v^2+v+1} dv = -\frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{v-1}{v^2+v+1} dv = -\int \frac{dx}{x}$
$\frac{1}{2} \log|v^2+v+1| - \sqrt{3} \tan^{-1}\left(\frac{2v+1}{\sqrt{3}}\right) = -\log|x| + C_1$
$v = y/x$ रखने पर:
$\log|x^2+xy+y^2| = 2\sqrt{3} \tan^{-1}\left(\frac{2y+x}{\sqrt{3}x}\right) + C$.