સાબિત કરો કે $f(x)=|\cos x|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય એ સતત વિધેય છે.

(N/A) આપેલ વિધેય $f(x)=|\cos x|$ છે.
આ વિધેય $f$ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વ્યાખ્યાયિત છે અને તેને બે વિધેયોના સંયોજન તરીકે લખી શકાય છે $f=g \circ h$,જ્યાં $g(x)=|x|$ અને $h(x)=\cos x$.
$[\because (g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(\cos x) = |\cos x| = f(x)]$
પ્રથમ,આપણે સાબિત કરીશું કે $g(x)=|x|$ અને $h(x)=\cos x$ સતત વિધેયો છે.
$g(x)=|x|$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$g(x) = \begin{cases} -x, & \text{જો } x < 0 \\ x, & \text{જો } x \ge 0 \end{cases}$
સ્પષ્ટ છે કે,$g$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $c$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
કિસ્સો $I$: જો $c < 0$,તો $g(c)=-c$ અને $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} (-x) = -c = g(c)$. આમ,$g$ એ $x < 0$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $II$: જો $c > 0$,તો $g(c)=c$ અને $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} x = c = g(c)$. આમ,$g$ એ $x > 0$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $III$: જો $c=0$,તો $g(0)=0$. $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$ અને $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0$. કારણ કે $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0)$,તેથી $g$ એ $x=0$ પર સતત છે.
આમ,$g(x)=|x|$ દરેક જગ્યાએ સતત છે.
હવે,$h(x)=\cos x$ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $c$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે. $x=c+h$ મૂકો. જેમ $x \to c$,તેમ $h \to 0$.
$\lim_{x \to c} h(x) = \lim_{h \to 0} \cos(c+h) = \lim_{h \to 0} (\cos c \cos h - \sin c \sin h) = \cos c(1) - \sin c(0) = \cos c = h(c)$.
આમ,$h(x)=\cos x$ દરેક જગ્યાએ સતત છે.
બે સતત વિધેયોનું સંયોજન સતત હોવાથી,$f(x) = (g \circ h)(x) = |\cos x|$ એ એક સતત વિધેય છે.