सिद्ध कीजिए कि आव्यूह $B^{\prime}AB$ सममित या विषम-सममित है,यदि $A$ क्रमशः सममित या विषम-सममित है।

(A) मान लीजिए कि $A$ एक सममित आव्यूह है,तो $A^{\prime} = A$ ......... $(1)$
विचार कीजिए
$(B^{\prime}AB)^{\prime} = \{B^{\prime}(AB)\}^{\prime}$
$= (AB)^{\prime}(B^{\prime})^{\prime}$ $[(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}]$
$= B^{\prime}A^{\prime}(B)$ $[(B^{\prime})^{\prime} = B]$
$= B^{\prime}(A^{\prime}B)$
$= B^{\prime}(AB)$ $[$ $(1)$ का उपयोग करने पर $]$
$\therefore (B^{\prime}AB)^{\prime} = B^{\prime}AB$
अतः,यदि $A$ सममित आव्यूह है,तो $B^{\prime}AB$ एक सममित आव्यूह है।
अब,मान लीजिए कि $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है,तो $A^{\prime} = -A$ ......... $(2)$
विचार कीजिए
$(B^{\prime}AB)^{\prime} = \{B^{\prime}(AB)\}^{\prime} = (AB)^{\prime}(B^{\prime})^{\prime}$
$= (B^{\prime}A^{\prime})B$
$= B^{\prime}(-A)B$ $[$ $(2)$ का उपयोग करने पर $]$
$= -B^{\prime}AB$
$\therefore (B^{\prime}AB)^{\prime} = -B^{\prime}AB$
अतः,यदि $A$ विषम-सममित आव्यूह है,तो $B^{\prime}AB$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
अतः,आव्यूह $B^{\prime}AB$ सममित या विषम-सममित है,यदि $A$ क्रमशः सममित या विषम-सममित है।