दर्शाइए कि किसी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्ण संख्या $m$ के लिए $8m+1$ के रूप का होता है।

(N/A) किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक को $2q+1$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $q$ एक पूर्ण संख्या है।
इस पूर्णांक का वर्ग करने पर:
$(2q+1)^2 = 4q^2 + 4q + 1$
$(2q+1)^2 = 4q(q+1) + 1$ $...(1)$
चूँकि $q$ और $q+1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,इसलिए उनका गुणनफल $q(q+1)$ सदैव सम होता है। अतः,हम $q(q+1) = 2m$ लिख सकते हैं,जहाँ $m$ एक पूर्ण संख्या है।
इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2q+1)^2 = 4(2m) + 1 = 8m + 1$.
अतः,किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्ण संख्या $m$ के लिए $8m+1$ के रूप का होता है।