સાબિત કરો કે કોઈપણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈ પૂર્ણ સંખ્યા $m$ માટે $8m+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) કોઈપણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકને $2q+1$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $q$ એક પૂર્ણ સંખ્યા છે.
આ પૂર્ણાંકનો વર્ગ કરતા:
$(2q+1)^2 = 4q^2 + 4q + 1$
$(2q+1)^2 = 4q(q+1) + 1$ $...(1)$
$q$ અને $q+1$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $q(q+1)$ હંમેશા યુગ્મ હોય છે. તેથી,આપણે $q(q+1) = 2m$ લખી શકીએ,જ્યાં $m$ એક પૂર્ણ સંખ્યા છે.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(2q+1)^2 = 4(2m) + 1 = 8m + 1$.
આમ,કોઈપણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈ પૂર્ણ સંખ્યા $m$ માટે $8m+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.