दर्शाइए कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक $q$ के लिए $4q$ या $4q+1$ के रूप का होता है।

(N/A) माना $a$ एक स्वैच्छिक धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,पूर्णांकों $a$ और $4$ के लिए,ऐसे अऋणात्मक पूर्णांक $m$ और $r$ विद्यमान हैं कि $a = 4m + r$,जहाँ $0 \leq r < 4$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (4m + r)^2 = 16m^2 + 8mr + r^2 = 4(4m^2 + 2mr) + r^2$ प्राप्त होता है।
स्थिति $I$: यदि $r = 0$ है,तो $a^2 = 4(4m^2) = 4q$,जहाँ $q = 4m^2$ है।
स्थिति $II$: यदि $r = 1$ है,तो $a^2 = 4(4m^2 + 2m) + 1 = 4q + 1$,जहाँ $q = 4m^2 + 2m$ है।
स्थिति $III$: यदि $r = 2$ है,तो $a^2 = 16m^2 + 16m + 4 = 4(4m^2 + 4m + 1) = 4q$,जहाँ $q = 4m^2 + 4m + 1$ है।
स्थिति $IV$: यदि $r = 3$ है,तो $a^2 = 16m^2 + 24m + 9 = 16m^2 + 24m + 8 + 1 = 4(4m^2 + 6m + 2) + 1 = 4q + 1$,जहाँ $q = 4m^2 + 6m + 2$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $4q$ या $4q + 1$ के रूप का होता है।