बताइए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य:
$(1)$ यदि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के लिए $ar(ABC) = 96 \, cm^2$ है,तो $ar(ABCD) = 192 \, cm^2$ होगा।
$(2)$ समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = समकोण बनाने वाली भुजाओं का गुणनफल।

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(A) $(1)$ सत्य। समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए,$ar(ABCD) = 2 \times ar(ABC) = 2 \times 96 \, cm^2 = 192 \, cm^2$ होगा।
$(2)$ असत्य। समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{समकोण बनाने वाली भुजाओं का गुणनफल}$ होता है।

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$(1)$ $\Delta ABC$ में,$AD$ एक शीर्षलंब है। यदि $BC = 8 \text{ cm}$ और $AD = 5 \text{ cm}$ है,तो $\text{ar}(\Delta ABC) = \dots \text{ cm}^2$ होगा।
$(2)$ त्रिभुज की एक $\dots$ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का आधार समान है और क्षेत्रफल भी समान है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ $26 \, cm$,$28 \, cm$ और $30 \, cm$ हैं,और समांतर चतुर्भुज $28 \, cm$ के आधार पर स्थित है,तो समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ($, cm$ में)

$D, E$ और $F$ क्रमशः $\Delta ABC$ की भुजाओं $BC, CA$ और $AB$ के मध्य-बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि:
$(i)$ $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$(ii)$ $ar(DEF) = \frac{1}{4} ar(ABC)$
$(iii)$ $ar(BDEF) = \frac{1}{2} ar(ABC)$

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$PQRS$ एक वर्ग है। $T$ और $U$ क्रमशः $PS$ और $QR$ के मध्य-बिंदु हैं। $\Delta OTS$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए,यदि $PQ = 8 \, cm$ है,जहाँ $O$,$TU$ और $QS$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य बताइए:
आकृति में,$ABCD$ और $EFGD$ दो समांतर चतुर्भुज हैं और $G$,$CD$ का मध्य-बिंदु है। तो $\operatorname{ar}(\triangle DPC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(EFGD).$

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