मान लीजिए BOAC XY-समतल में एक आयत है जहाँ O म | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $BOAC$ $XY$-समतल में एक आयत है जहाँ $O(0,0)$ मूलबिंदु है और बिंदु $A, B$ परवलय $y=x^2$ पर स्थित हैं।मान लीजिए $A = (t_1, t_1^2)$ और

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$y=x^2+2$

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(A) दिया गया है कि $BOAC$ $XY$-समतल में एक आयत है जहाँ $O(0,0)$ मूलबिंदु है और बिंदु $A, B$ परवलय $y=x^2$ पर स्थित हैं।मान लीजिए $A = (t_1, t_1^2)$ और $B = (t_2, t_2^2)$ हैं।चूंकि $BOAC$ एक आयत है,विकर्ण $OA$ और $BC$ एक ही मध्यबिंदु पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,और भुजाएं $OA$ और $OB$ लंबवत हैं।$OA$ की ढाल $m_1 = \frac{t_1^2 - 0}{t_1 - 0} = t_1$ है।$OB$ की ढाल $m_2 = \frac{t_2^2 - 0}{t_2 - 0} = t_2$ है।चूंकि $OA \perp OB$,हमारे पास $m_1 \cdot m_2 = -1$ है,जिसका अर्थ है $t_1 t_2 = -1$।मान लीजिए $C = (h, k)$ है। चूंकि $BOAC$ एक आयत है,सदिश $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$ है।अतः,$h = t_1 + t_2$ और $k = t_1^2 + t_2^2$ है।हम $k$ को $h$ के पदों में इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:$k = (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2$$k = h^2 - 2(-1)$$k = h^2 + 2$।इसलिए,$C(h, k)$ का बिंदुपथ $y = x^2 + 2$ है।

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