मान लीजिए कि $d_1$ और $d_2$ क्रमशः रेखा $2x-2y-3=0$ पर वृत्तों $x^2+y^2=4$ और $x^2+y^2-10x-14y+65=0$ द्वारा काटे गए अंतःखंडों की लंबाइयाँ हैं। तो,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$P(3,1)$,$Q(6,5)$ और $R(x,y)$ तीन बिंदु इस प्रकार हैं कि कोण $\angle PRQ$ एक समकोण है और $\Delta RPQ$ का क्षेत्रफल $= 5$ है। तो ऐसे बिंदुओं $R$ की संख्या है

$1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त $C$ एक समबाहु त्रिभुज $PQR$ में अंतर्निहित है। $C$ के भुजाओं $PQ, QR, RP$ के साथ स्पर्श बिंदु क्रमशः $D, E, F$ हैं। रेखा $PQ$ का समीकरण $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$ है और बिंदु $D$ $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ है। इसके अलावा,यह दिया गया है कि मूल बिंदु और $C$ का केंद्र रेखा $PQ$ के एक ही तरफ हैं।
$1.$ वृत्त $C$ का समीकरण है
$(A) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$(B) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 1$
$(C) (x - \sqrt{3})^2 + (y + 1)^2 = 1$
$(D) (x - \sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$2.$ बिंदु $E$ और $F$ हैं
$(A) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(B) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(C) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$(D) \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$3.$ भुजाओं $QR, RP$ के समीकरण हैं
$(A) y = \frac{2}{\sqrt{3}}x + 1, y = -\frac{2}{\sqrt{3}}x - 1$
$(B) y = \frac{1}{\sqrt{3}}x, y = 0$
$(C) y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + 1, y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x - 1$
$(D) y = \sqrt{3}x, y = 0$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

वृत्त $x^2+y^2=64$, धनात्मक $x$-अक्ष और रेखा $y=\sqrt{3}x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

मान लीजिए $A(2, 3), B(4, 5)$ दो बिंदु हैं और $C = (x, y)$ एक ऐसा बिंदु है कि $(x - 2)(x - 4) + (y - 3)(y - 5) = 0$ है। यदि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\sqrt{2}$ वर्ग इकाई है,तो $xy$ समतल में $C$ की स्थितियों की अधिकतम संख्या क्या है?

यदि उस वृत्त का समीकरण जिसकी त्रिज्या $3$ इकाई है और जो वृत्त $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ को बिंदु $(-1,-1)$ पर आंतरिक रूप से स्पर्श करता है,$x^2+y^2+px+qy+r=0$ है,तो $p+q-r=$