मान लीजिए $O(0,0)$ मूल बिंदु है और रेखा $L = x + y - \lambda = 0$ वक्र $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 2 = 0$ को $A$ और $B$ पर मिलती है। यदि $\angle AOB = 90^{\circ}$ है,तो ऐसी रेखाओं $L = 0$ के बीच की दूरी क्या है?

मूल बिंदु से वृत्त $x^2 + y^2 + 20(x + y) + 20 = 0$ पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचा गया है। स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण है

माना $C$ वृत्त $x^2+(y-1)^2=2$ है। माना $E_1$ और $E_2$ दो दीर्घवृत्त हैं जिनके केंद्र मूल बिंदु पर हैं और मुख्य अक्ष क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं। माना सरल रेखा $x+y=3$ वक्रों $C$,$E_1$ और $E_2$ को क्रमशः $P(x_1, y_1)$,$Q(x_2, y_2)$ और $R(x_3, y_3)$ पर स्पर्श करती है। यदि $P$,रेखाखंड $QR$ का मध्य-बिंदु है और $PQ = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है,तो $9(x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)$ का मान . . . . . . है।

दो लंबकोणीय वृत्तों $C_1$ और $C_2$ में से प्रत्येक बिंदु $(2,0)$ और $(-2,0)$ से होकर गुजरता है। यदि $y=mx+c$ इन वृत्तों की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है,तो

यदि रेखा $lx + my = 1$ का वह भाग जो वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ के अंदर आता है,मूल बिंदु पर $45^\circ$ का कोण अंतरित करता है,तो

एक बिंदु $P(0, b)$ से वृत्त $x^2+y^2=16$ पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं और ये दो स्पर्श रेखाएँ $X$-अक्ष को दो बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती हैं। यदि $\triangle PAB$ का क्षेत्रफल न्यूनतम है,तो इसके परिवृत्त का समीकरण क्या है?