मूल बिंदु से वृत्त $x^2 + y^2 + 20(x + y) + 20 = 0$ पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचा गया है। स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण है

यदि एक चर रेखा,$3x + 4y - \lambda = 0$,इस प्रकार है कि दो वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ और $x^2 + y^2 - 18x - 2y + 78 = 0$ इसकी विपरीत दिशाओं में स्थित हैं,तो $\lambda$ के सभी मानों का समुच्चय कौन सा अंतराल है?

यदि वृत्तों $x^2+y^2-14x+6y+33=0$ और $x^2+y^2+30x-2y+1=0$ पर खींची गई अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के युग्म और सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के युग्म के प्रतिच्छेदन बिंदु क्रमशः $T$ और $D$ हैं,तो $TD$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का केंद्र क्या होगा?

बिंदु $P(4, 7)$ से होकर जाने वाली एक रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ को बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। तब $PA \cdot PB$ का मान है

वृत्त $C$ का समीकरण $x^2+y^2-2x+10y-38=0$ दिया गया है। $C$ के संबंध में नीचे दी गई सूची-$I$ का सूची-$II$ से मिलान करें।

सूची-$I$	सूची-$II$
$A$. $(4, 3)$ की $C$ के सापेक्ष ध्रुवीय रेखा का समीकरण	$I$. $y+5=0$
$B$. $C$ पर बिंदु $(9, -5)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण	$II$. $x=1$
$C$. $C$ पर बिंदु $(-7, -5)$ पर अभिलंब का समीकरण	$III$. $3x+8y=27$
$D$. $(1, -5)$ और $(1, 3)$ से गुजरने वाले व्यास का समीकरण	$IV$. $x=9$

मान लीजिए $O(0,0)$ मूल बिंदु है और रेखा $L = x + y - \lambda = 0$ वक्र $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 2 = 0$ को $A$ और $B$ पर मिलती है। यदि $\angle AOB = 90^{\circ}$ है,तो ऐसी रेखाओं $L = 0$ के बीच की दूरी क्या है?