मान लीजिए a, b, c एक A.P. में हैं और a^{2}, 2 | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं, तो $a = b - d$ और $c = b + d$ मान लें। चूंकि $a+b+c=1,$ इसलिए $(b-d) + b + (b+d) = 1,$ जिसका अर्थ है $

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$9$

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(B) दिया गया है कि $a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं, तो $a = b - d$ और $c = b + d$ मान लें। चूंकि $a+b+c=1,$ इसलिए $(b-d) + b + (b+d) = 1,$ जिसका अर्थ है $3b = 1$ या $b = \frac{1}{3}.$ चूंकि $a^{2}, 2b^{2}, c^{2}$ एक $G.P.$ में हैं, इसलिए $(2b^{2})^{2} = a^{2}c^{2},$ अर्थात $4b^{4} = (ac)^{2}.$ $a = b-d$ और $c = b+d$ रखने पर, $4b^{4} = ((b-d)(b+d))^{2} = (b^{2}-d^{2})^{2}.$ वर्गमूल लेने पर, $b^{2}-d^{2} = \pm 2b^{2}.$ स्थिति $1: b^{2}-d^{2} = 2b^{2} \Rightarrow d^{2} = -b^{2}$ (वास्तविक $d$ के लिए संभव नहीं है)। स्थिति $2: b^{2}-d^{2} = -2b^{2} \Rightarrow d^{2} = 3b^{2} = 3(\frac{1}{9}) = \frac{1}{3}.$ चूंकि $a अब, $a^{2}+b^{2}+c^{2} = (b-d)^{2} + b^{2} + (b+d)^{2} = 3b^{2} + 2d^{2}.$ मान रखने पर: $3(\frac{1}{9}) + 2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1.$ अतः, $9(a^{2}+b^{2}+c^{2}) = 9(1) = 9.$

मान लीजिए $a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं और $a^{2}, 2b^{2}, c^{2}$ एक $G.P.$ में हैं। यदि $a < b < c$ और $a+b+c=1$ है, तो $9(a^{2}+b^{2}+c^{2})$ का मान . . . . . . है।

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मान लीजिए कि $\frac{1}{16}, a$ और $b$ एक $G.P.$ में हैं और $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, 6$ एक $A.P.$ में हैं,जहाँ $a, b > 0$ है। तो $72(a + b)$ का मान ...... है।

यदि $x = \sum_{n=0}^{\infty} a^{n}$,$y = \sum_{n=0}^{\infty} b^{n}$,$z = \sum_{n=0}^{\infty} c^{n}$,जहाँ $a, b, c$ $A.P.$ में हैं और $|a| < 1, |b| < 1, |c| < 1$,$abc \neq 0$,तो:

यदि $a^2(b + c), b^2(c + a), c^2(a + b)$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,तो $a, b, c$ किस श्रेणी में हैं?

यदि $a, b, c$ कोई तीन धनात्मक संख्याएँ हैं,तो $(a + b + c) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$ का न्यूनतम मान क्या है?

यदि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं; $b, c, d$ $G.P.$ में हैं और $\frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e}$ $A.P.$ में हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $a, c, e$ $G.P.$ में हैं।

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