मान लीजिए कि f,[a, b] पर सतत है और [a, b] में | vedclass

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Question

(D) व्याख्या: मान लीजिए कि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in [a, b]$ के लिए $f(x) \in \mathbb{Z}$ है।मध्यवर्ती मान प्रमे

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$f(x)$ अचर है

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(D) व्याख्या: मान लीजिए कि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in [a, b]$ के लिए $f(x) \in \mathbb{Z}$ है।मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,यदि $f$,$[a, b]$ पर सतत है,तो $f$ को $f(a)$ और $f(b)$ के बीच के सभी मानों को ग्रहण करना चाहिए।मान लीजिए कि $f$ अचर नहीं है। तो $[a, b]$ में ऐसे $x_1, x_2$ मौजूद हैं कि $f(x_1) = n$ और $f(x_2) = m$ जहाँ $n 
eq m$ है। बिना किसी हानि के,मान लीजिए कि $n चूंकि $f$ सतत है,इसलिए $n हालाँकि,हमें दिया गया है कि $[a, b]$ में प्रत्येक $x$ के लिए $f(x)$ एक पूर्णांक है।यदि हम $y = n + 0.5$ लेते हैं,जो कि पूर्णांक नहीं है,तो यह इस शर्त का खंडन करता है कि $f(x)$ एक पूर्णांक होना चाहिए।इसलिए,यह धारणा कि $f$ अचर नहीं है,गलत है।अतः,$f(x)$ एक अचर फलन होना चाहिए।

मान लीजिए कि $f$,$[a, b]$ पर सतत है और $[a, b]$ में प्रत्येक $x$ के लिए $f(x)$ एक पूर्णांक है। तो $[a, b]$ में

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यदि $f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & \text{यदि } |2x - 3| \geq 2 \\ 3x + 2 & \text{यदि } \frac{1}{2} < x < \frac{5}{2} \end{cases}$ अपने प्रांत पर सतत है,तो $a + b$ का मान क्या है?

$f$ के सभी असंततता के बिंदु ज्ञात कीजिए,जहाँ $f$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & \text{यदि } x \le 2 \\ 2x - 3, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} 2 - |x^2 + 5x + 6|, & x \neq -2 \\ a^2 + 1, & x = -2 \end{cases}$ है। तो $a$ का वह परिसर ज्ञात कीजिए जिसके लिए $f(x)$ का $x = -2$ पर अधिकतम मान हो।

निम्नलिखित फलन की सांतत्यता की जाँच कीजिए: $f(x) = \frac{x^{2} - 25}{x + 5}, x \neq -5$.

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