ઉપવલય $\frac{x^{2}}{32}+\frac{y^{2}}{18}=1$ ને $-\frac{3}{4}$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક યામ અક્ષોને $A$ અને $B$ માં મળે છે. $\Delta AOB$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે.

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

ઉપવલય $\frac{x^2}{27} + y^2 = 1$ પર બિંદુ $(3\sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta \in (0, \pi/2)$. આ સ્પર્શક દ્વારા અક્ષો પર બનતા અંતઃખંડોનો સરવાળો ન્યૂનતમ હોય તે માટે $\theta$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $S = 0$ એક ઉપવલય છે જેના શિરોબિંદુઓ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (જ્યાં $a > b$) ના ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ છે. જો $S = 0$ એ $E$ ના નાભિઓમાંથી પસાર થાય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો (જ્યાં $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ છે).

$S$ અને $T$ એ ઉપવલયના નાભિઓ છે અને $B$ એ ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ છે. જો $\triangle STB$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોય, તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b$,ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{4}$ છે. જો આ ઉપવલય બિંદુ $\left(-4 \sqrt{\frac{2}{5}}, 3\right)$ માંથી પસાર થાય,તો $a^{2}+b^{2}$ ની કિંમત શોધો.