बिंदु $(3, 2)$ से अतिपरवलय $x^2 - 9y^2 = 9$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। स्पर्श रेखाओं और स्पर्श जीवा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल . . . . . . वर्ग इकाई है।

उस अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या है जो बिंदुओं $(3,0)$ और $(3\sqrt{2}, 2)$ से होकर गुजरता है?

मान लीजिए कि एक अतिपरवलय $H$ का केंद्र मूल बिंदु पर है और नाभियाँ $x$-अक्ष पर हैं। मान लीजिए $C_1$ एक वृत्त है जो अतिपरवलय $H$ को स्पर्श करता है और जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है। मान लीजिए $C_2$ एक वृत्त है जो अतिपरवलय $H$ को उसके शीर्ष पर स्पर्श करता है और जिसका केंद्र उसकी एक नाभि पर है। यदि $C_1$ और $C_2$ के क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्रमशः $36 \pi$ और $4 \pi$ हैं,तो $H$ के नाभिलंब की लंबाई (इकाइयों में) क्या है?

मान लीजिए $O$ मूलबिंदु है, और $P$ तथा $Q$ आयताकार अतिपरवलय $xy = 12$ पर दो बिंदु इस प्रकार हैं कि रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ है। तो त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल क्या होगा?

यदि एक अतिपरवलय बिंदु $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ से गुजरता है और उसकी नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ पर हैं, तो $P$ पर इस अतिपरवलय की स्पर्श रेखा क्या है?

मान लीजिए कि अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की उत्केंद्रता, दीर्घवृत्त $x^{2}+9y^{2}=9$ की उत्केंद्रता की व्युत्क्रम है, तो अनुपात $a^{2}:b^{2}$ किसके बराबर है?