यदि एक अतिपरवलय बिंदु P(sqrt{2}, sqrt{3}) से | vedclass

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Question

(A) $(\pm ae, 0)$ नाभियों वाले अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।यहाँ $ae = 2$ और $b^2 = 4 - a^2$ है।बिंदु $P(\sqrt{2

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$y = x\sqrt{6} - \sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(A) $(\pm ae, 0)$ नाभियों वाले अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।यहाँ $ae = 2$ और $b^2 = 4 - a^2$ है।बिंदु $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ को रखने पर, $\frac{2}{a^2} - \frac{3}{4 - a^2} = 1$ प्राप्त होता है।हल करने पर $a^2 = 1$ और $b^2 = 3$ मिलता है।अतः समीकरण $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ है।$P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x\sqrt{2}}{1} - \frac{y\sqrt{3}}{3} = 1$ होगा।जिसे सरल करने पर $y = x\sqrt{6} - \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

यदि एक अतिपरवलय बिंदु $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ से गुजरता है और उसकी नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ पर हैं, तो $P$ पर इस अतिपरवलय की स्पर्श रेखा क्या है?

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उस अतिपरवलय (hyperbola) का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी उत्केंद्रता (eccentricity) $\frac{5}{3}$ है और नाभियों के बीच की दूरी $10$ इकाई है:

अतिपरवलय $9x^2 - 16y^2 - 18x - 32y - 151 = 0$ के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई है

कथन $I$: अतिपरवलय $9x^2-16y^2-72x+96y-144=0$ की उत्केंद्रता $5/4$ है।
कथन $II$: अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की उत्केंद्रता $\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ है।

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