एक वक्र के स्पर्शरेखा का x-अंतःखंड स्पर्श बिं | vedclass

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Question

(A) माना स्पर्श बिंदु $P(x, y)$ है। स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।$P(x, y)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।$x-$अंतःख

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$y e^{\frac{x}{y}} = e$

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(A) माना स्पर्श बिंदु $P(x, y)$ है। स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।$P(x, y)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।$x-$अंतःखंड के लिए $Y = 0$ रखने पर: $-y = \frac{dy}{dx}(X - x) \Rightarrow X - x = -y \frac{dx}{dy} \Rightarrow X = x - y \frac{dx}{dy}$.प्रश्न के अनुसार,$x-$अंतःखंड कोटि $y$ के बराबर है,इसलिए $x - y \frac{dx}{dy} = y$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $x - y = y \frac{dx}{dy} \Rightarrow (x - y) dy = y dx \Rightarrow x dy - y dy = y dx$.इसे $x dy - y dx = y dy$ के रूप में लिखा जा सकता है।दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{x dy - y dx}{y^2} = \frac{y dy}{y^2} = \frac{dy}{y}$.यह भागफल नियम का अवकलन है: $d(\frac{x}{y}) = \frac{dy}{y}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{x}{y} = \ln|y| + C$.चूंकि वक्र $(1, 1)$ से गुजरता है,$x=1, y=1$ रखने पर: $\frac{1}{1} = \ln(1) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.अतः,समीकरण $\frac{x}{y} = \ln y + 1$ है,जो $y e = e^{x/y}$ में परिवर्तित होता है।

एक वक्र के स्पर्शरेखा का $x-$अंतःखंड स्पर्श बिंदु के कोटि (ordinate) के बराबर है। बिंदु $(1, 1)$ से गुजरने वाले वक्र का समीकरण है

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