xy-समतल और बिंदु (1, 2, 4) से गुजरने वाले तथा | vedclass

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Question

(A) चरण $1$: समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$ ज्ञात कीजिए। समतल $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$

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$\cos^{-1} \left( \frac{8}{5\sqrt{5}} \right)$

Vedclass · Answer

(A) चरण $1$: समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$ ज्ञात कीजिए। समतल $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ के समांतर है।चरण $2$: $\vec{n_1} = \vec{a} 	imes \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 3 & 2 & -1 \ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - 2) - \hat{j}(-6 + 1) + \hat{k}(-6 - 2) = -6\hat{i} + 5\hat{j} - 8\hat{k}$।चरण $3$: $xy$-समतल का अभिलंब $\vec{n_2} = \hat{k} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$ है।चरण $4$: समतलों के बीच का कोण $	heta$, $\cos 	heta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।चरण $5$: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-6)(0) + (5)(0) + (-8)(1) = -8$। अतः, $|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}| = 8$।चरण $6$: $|\vec{n_1}| = \sqrt{(-6)^2 + 5^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 25 + 64} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$। $|\vec{n_2}| = 1$।चरण $7$: $\cos 	heta = \frac{8}{5\sqrt{5}}$। अतः, $	heta = \cos^{-1} \left( \frac{8}{5\sqrt{5}} ight)$।

$xy$-समतल और बिंदु $(1, 2, 4)$ से गुजरने वाले तथा $3, 2, -1$ और $1, -2, -2$ दिक्-अनुपात वाले सदिशों के समांतर समतल के बीच का न्यून कोण $\theta$ है

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रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 8$ के बीच का कोण $\theta$ है

बिंदु $(2, 3, 1)$ से गुजरने वाली और समतलों $x - 2y - z + 5 = 0$ तथा $x + y + 3z = 6$ की प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

एक धनात्मक वास्तविक संख्या $p$ के लिए,यदि बिंदु $-\hat{i} + p\hat{j} - 3\hat{k}$ से समतल $\vec{r} \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}) = 7$ की लंबवत दूरी $6$ इकाई है,तो $p=$

मूल बिंदु से समतल $5y + 8 = 0$ पर खींचे गए लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

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