સમાંતરફલક (parallelepiped) ની ઊંચાઈ શોધો,જેના સહ-અંતિમ ધાર સદિશો $\bar{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\bar{b}=2\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$,અને $\bar{c}=\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$ છે,જ્યાં $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એ સમાંતરફલકના પાયાની બાજુઓ છે.

ધારો કે $\vec{u} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$,$\vec{v} = b\hat{i} + c\hat{j} + a\hat{k}$,અને $\vec{w} = c\hat{i} + a\hat{j} + b\hat{k}$. જો $[\vec{u} \, \vec{v} \, \vec{w}] = 0$ અને $\vec{w} = \lambda \vec{x} + \mu \vec{y}$ જ્યાં $(a + b + c) \neq 0$ અને $\lambda, \mu \neq 0$ હોય,તો સદિશો $\vec{x}, \vec{y}, \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ કેવા છે?

ધારો કે $\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}$, $-2\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$, $-\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$, અને $2\hat{i}+2\hat{j}+a\hat{k}$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $\frac{20}{3}$ છે. તો $a$ નું પૂર્ણાંક મૂલ્ય શોધો.

જો $[a, b, c] = 3$ હોય, તો $2a+b$, $2b+c$ અને $2c+a$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ (ઘન એકમોમાં) કેટલું થાય?

ધારો કે $v = 2i + j - k$ અને $w = i + 3k$. જો $u$ એ કોઈ એકમ સદિશ હોય, તો અદિશ ત્રિગુણિત $[u v w]$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શું થાય?

ધારો કે $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{w}$ એ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં સદિશો છે,જ્યાં $\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{v}$ એકમ સદિશો છે જે એકબીજાને લંબ નથી અને $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w}=4$ છે. જો સમાંતરફલકનું ઘનફળ,જેની પાસપાસેની બાજુઓ $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{w}$ સદિશો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે $\sqrt{2}$ હોય,તો $|3\vec{u}+5\vec{v}|$ નું મૂલ્ય શોધો.