જો $[a, b, c] = 3$ હોય, તો $2a+b$, $2b+c$ અને $2c+a$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ (ઘન એકમોમાં) કેટલું થાય?

ધારો કે $x_0$ એ $f(x) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ નું સ્થાનિક મહત્તમ (local maxima) બિંદુ છે, જ્યાં $\vec{a} = x\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = -2\hat{i} + x\hat{j} - \hat{k}$, અને $\vec{c} = 7\hat{i} - 2\hat{j} + x\hat{k}$ છે. તો $x = x_0$ પર $\vec{a} \cdot \vec{c}$ નું મૂલ્ય છે:

જો $a$ અને $b$ એકબીજાને લંબ એકમ સદિશો હોય, તો $[a + (a \times b) \quad b + (a \times b) \quad (a \times b)]$ =

જો $p = \frac{b \times c}{[a, b, c]}, q = \frac{c \times a}{[a, b, c]}, r = \frac{a \times b}{[a, b, c]}$,જ્યાં $a, b, c$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો છે,તો $(a + b + c) \cdot (p + q + r)$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

વિધાન-$1$: જો બિંદુઓ $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, z)$ અને $(1, 1, 1)$ સમતલીય હોય,તો $z = 2$.
વિધાન-$2$: જો $4$ બિંદુઓ $P, Q, R$ અને $S$ સમતલીય હોય,તો ચતુષ્ફલક $PQRS$ નું ઘનફળ $0$ થાય.

જો $\alpha = 2i + 3j - k$,$\beta = -i + 2j - 4k$ અને $\gamma = i + j + k$ હોય,તો $(\alpha \times \beta) \cdot (\alpha \times \gamma)$ ની કિંમત શોધો.