ધારો કે $x_0$ એ $f(x) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ નું સ્થાનિક મહત્તમ (local maxima) બિંદુ છે, જ્યાં $\vec{a} = x\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = -2\hat{i} + x\hat{j} - \hat{k}$, અને $\vec{c} = 7\hat{i} - 2\hat{j} + x\hat{k}$ છે. તો $x = x_0$ પર $\vec{a} \cdot \vec{c}$ નું મૂલ્ય છે:

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય,તો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\vec{a} \cdot \vec{a}} & {\vec{a} \cdot \vec{b}} & {\vec{a} \cdot \vec{c}} \\ {\vec{b} \cdot \vec{a}} & {\vec{b} \cdot \vec{b}} & {\vec{b} \cdot \vec{c}} \\ {\vec{c} \cdot \vec{a}} & {\vec{c} \cdot \vec{b}} & {\vec{c} \cdot \vec{c}} \end{array}} \right| = \dots$

ધારો કે $a, b$ અને $c$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો છે અને $p, q$ અને $r$ એ $p=\frac{b \times c}{[a b c]}, q=\frac{c \times a}{[a b c]}, r=\frac{a \times b}{[a b c]}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સદિશો છે. તો, $(a+b) \cdot p+(b+c) \cdot q+(c+a) \cdot r$ ની કિંમત શોધો.

જો સદિશો $\overrightarrow{a}=\hat{i}+a \hat{j}+a^{2} \hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\hat{i}+b \hat{j}+b^{2} \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c}=\hat{i}+c \hat{j}+c^{2} \hat{k}$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \\ b & b^{2} & 1+b^{3} \\ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}\right|=0$ હોય,તો $abc$ ની કિંમત શોધો.

જો સમાંતરબાજુ ફલક (parallelepiped) કે જેની ધાર સદિશો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ છે તેનું ઘનફળ $12$ હોય,તો ચતુષ્ફલક (tetrahedron) કે જેની ધાર $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}$ અને $\bar{c}+\bar{a}$ છે તેનું ઘનફળ કેટલું થાય?

$O \equiv (0,0,0)$, $A \equiv (2,-2,1)$, $B \equiv (5,-4,4)$ અને $C \equiv (1,-2,4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા સમાંતરફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ શોધો. ($\text{ઘન એકમ}$ માં)