વર્તુળ x^2+y^2=169 ના ભાગનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) વર્તુળ $x^2+y^2=13^2$ છે અને રેખા $y=5x-13$ છે. છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y$ ની કિંમત વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+(5x-13)^2=169 \implies x^2+25x^2-

Vedclass · Accepted Answer

$171$

Vedclass · Answer

(D) વર્તુળ $x^2+y^2=13^2$ છે અને રેખા $y=5x-13$ છે. છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y$ ની કિંમત વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+(5x-13)^2=169 \implies x^2+25x^2-130x+169=169 \implies 26x^2-130x=0 \implies 26x(x-5)=0$. તેથી,$x=0$ (જેથી $y=-13$) અને $x=5$ (જેથી $y=12$).રેખા $y=5x-13$ ની નીચે અને વર્તુળની અંદરનું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના ચાપ અને રેખાખંડ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં $0$ થી $5$ સુધી સંકલન કરતા:ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{5} (\sqrt{169-x^2} - (5x-13)) dx$$= \int_{0}^{5} \sqrt{13^2-x^2} dx - \int_{0}^{5} (5x-13) dx$$= [\frac{x}{2}\sqrt{169-x^2} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{13})]_0^5 - [\frac{5x^2}{2}-13x]_0^5$$= (\frac{5}{2}\sqrt{144} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13})) - (\frac{125}{2}-65)$$= 30 + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13}) + \frac{5}{2} = \frac{65}{2} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13})$.$\sin^{-1}(\frac{5}{13}) = \cos^{-1}(\frac{12}{13}) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\frac{12}{13})$ નો ઉપયોગ કરતા:ક્ષેત્રફળ $= \frac{65}{2} + \frac{169}{2}(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\frac{12}{13})) = \frac{169\pi}{4} - \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{12}{13}) + \frac{65}{2}$.આપેલ સ્વરૂપ $\frac{\pi \alpha}{2 \beta}-\frac{65}{2}+\frac{\alpha}{\beta} \sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha=169, \beta=2$ મળે છે. $\gcd(169, 2)=1$ હોવાથી,$\alpha+\beta = 169+2 = 171$.

Similar Questions

વક્રો $y=x^{2}-1$ અને $y=1-x^{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

પરવલય $y = x^2 + 2$ અને રેખાઓ $y = x + 1$,$x = 0$ અને $x = 3$ દ્વારા આવરીત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module