પરવલય y^2=2x અને રેખા y=4x-1 વચ્ચે ઘેરાયેલા પ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=2x$ $\dots(i)$ અને રેખાનું સમીકરણ $y=4x-1$ $\dots(ii)$ છે.છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, $(ii)$ માંથી $x = \frac{y+1}{4}$ ને $(i)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{9}{32}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=2x$ $\dots(i)$ અને રેખાનું સમીકરણ $y=4x-1$ $\dots(ii)$ છે.છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, $(ii)$ માંથી $x = \frac{y+1}{4}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:$y^2 = 2\left(\frac{y+1}{4}\right) \implies y^2 = \frac{y+1}{2} \implies 2y^2 - y - 1 = 0$.દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(2y+1)(y-1) = 0$, તેથી $y = -\frac{1}{2}$ અને $y = 1$.અનુરૂપ $x$ કિંમતો $x = \frac{(-1/2)+1}{4} = \frac{1}{8}$ અને $x = \frac{1+1}{4} = \frac{1}{2}$ છે.છેદબિંદુઓ $(\frac{1}{8}, -\frac{1}{2})$ અને $(\frac{1}{2}, 1)$ છે.જરૂરી ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન દ્વારા મળે છે:$Area = \int_{-1/2}^{1} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{-1/2}^{1} (\frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2}) dy$.$= \frac{1}{4} \int_{-1/2}^{1} (y+1) dy - \frac{1}{2} \int_{-1/2}^{1} y^2 dy$.$= \frac{1}{4} [\frac{y^2}{2} + y]_{-1/2}^{1} - \frac{1}{2} [\frac{y^3}{3}]_{-1/2}^{1}$.$= \frac{1}{4} [(\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{8} - \frac{1}{2})] - \frac{1}{6} [1 - (-\frac{1}{8})]$.$= \frac{1}{4} [\frac{3}{2} + \frac{3}{8}] - \frac{1}{6} [\frac{9}{8}] = \frac{1}{4} [\frac{15}{8}] - \frac{3}{16} = \frac{15}{32} - \frac{6}{32} = \frac{9}{32}$ ચોરસ એકમ.

પરવલય $y^2=2x$ અને રેખા $y=4x-1$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

Similar Questions

$y=\sqrt{5-x^{2}}$ અને $y=|x-1|$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

બહુપદી $f(x)$ એ શરત $f(x + 1) = x^2 + 4x$ નું પાલન કરે છે. $y = f(x - 1)$ અને વક્ર $x^2 + y = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

${(x, y) | y \leq x^2, xy \leq 8, y \geq 1}$ દ્વારા આવરી લેવાયેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમોમાં) શોધો...

વક્રો $y=\sqrt{4-x^2}$,$y^2=3x$ અને $Y$-અક્ષ વચ્ચેના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

વક્રો $y = x^3$ અને $y = \sqrt{x}$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module