પ્રથમ ચરણમાં x^2+3y^2=18 ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ ઉપવલય $x^2+3y^2=18$ છે,જેને $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{6}=1$ તરીકે લખી શકાય.ઉપવલય અને રેખા $y=x$ ના છેદબિંદુ માટે,$y=x$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{3}\pi$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ ઉપવલય $x^2+3y^2=18$ છે,જેને $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{6}=1$ તરીકે લખી શકાય.ઉપવલય અને રેખા $y=x$ ના છેદબિંદુ માટે,$y=x$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:$x^2+3x^2=18 \Rightarrow 4x^2=18 \Rightarrow x^2=\frac{9}{2} \Rightarrow x=\frac{3}{\sqrt{2}}$.પ્રદેશ $x$-અક્ષ,રેખા $y=x$ અને ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલ છે. ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ સુધીના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અને $x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ થી $x=3\sqrt{2}$ સુધીના ઉપવલયની નીચેના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} 	imes 	ext{પાયો} 	imes 	ext{વેધ} = \frac{1}{2} 	imes \frac{3}{\sqrt{2}} 	imes \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{4}$.ઉપવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ = $\int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}} \sqrt{\frac{18-x^2}{3}} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}} \sqrt{18-x^2} dx$.સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:$= \frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{x}{2}\sqrt{18-x^2} + 9\sin^{-1}(\frac{x}{3\sqrt{2}})]_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}}$$= \frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{9\pi}{2} - (\frac{3}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{27}{2}} + 9\cdot\frac{\pi}{4})] = \frac{3\sqrt{3}\pi}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4}$.કુલ ક્ષેત્રફળ = $\frac{9}{4} + \frac{3\sqrt{3}\pi}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

પ્રથમ ચરણમાં $x^2+3y^2=18$ ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલા અને $y=x$ રેખાની નીચેના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો:

Similar Questions

રેખા $y=x$ અને વક્ર $y=x^3$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

પરવલય $y = x^2 - 1$,બિંદુ $(2, 3)$ આગળ તેના સ્પર્શક અને $y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

$y^{2}=8x$ અને $y=\sqrt{2}x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ જે $y=\sqrt{2}x$,$x=1$ અને $y=2\sqrt{2}$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની બહાર આવેલું છે,તે કેટલું થાય?

પ્રથમ ચરણમાં વક્રો $y=\sin ^{-1} x+x(1-x)$ અને $y=\sin ^{-1} x-x(1-x)$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module