दो वृत्तों x^2+y^2=1 और (x-1)^2+y^2=1 द्वारा | vedclass

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Question

(D) दो वृत्तों $x^2+y^2=1$ $(i)$ और $(x-1)^2+y^2=1$ (ii) के प्रतिच्छेदन बिंदु $(i)$ से $y^2=1-x^2$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं:

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2 \pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vedclass · Answer

(D) दो वृत्तों $x^2+y^2=1$ $(i)$ और $(x-1)^2+y^2=1$ (ii) के प्रतिच्छेदन बिंदु $(i)$ से $y^2=1-x^2$ को (ii) में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं: $(x-1)^2+(1-x^2)=1$ $x^2-2x+1+1-x^2=1$ $2-2x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$ $x=\frac{1}{2}$ को $(i)$ में रखने पर,$y^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है,अतः $y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. प्रतिच्छेदन बिंदु $A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}ight)$ और $C\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}ight)$ हैं। कुल क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए क्षेत्रफल $= 2 	imes \int_{0}^{1/2} \sqrt{1-(x-1)^2} dx + 2 	imes \int_{1/2}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$. सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= 2 \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) ight]_0^{1/2} + 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) ight]_{1/2}^1$ $= 2 \left[ (-\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-\frac{1}{2})) - (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1)) ight] + 2 \left[ (0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{2})) ight]$ $= 2 \left[ -\frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} ight] + 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{12} ight]$ $= 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} ight] + 2 \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} ight] = 4 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} ight) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

दो वृत्तों $x^2+y^2=1$ और $(x-1)^2+y^2=1$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

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