एक वक्र,x-अक्ष और वक्र के किसी बिंदु (x, y) क | vedclass

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Question

(D) माना वक्र $y = f(x)$ है। वक्र,$x$-अक्ष और $x$ पर ऑर्डिनेट द्वारा घिरा क्षेत्रफल $A = \int_0^x y \, dx$ है। वक्र की चाप की लंबाई $s = \int_0^x \sqr

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$(B)$ और $(C)$ दोनों

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(D) माना वक्र $y = f(x)$ है। वक्र,$x$-अक्ष और $x$ पर ऑर्डिनेट द्वारा घिरा क्षेत्रफल $A = \int_0^x y \, dx$ है। वक्र की चाप की लंबाई $s = \int_0^x \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$ है। प्रश्न के अनुसार $A = s$,इसलिए $\int_0^x y \, dx = \int_0^x \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y = \sqrt{1 + (y')^2}$ प्राप्त होता है। वर्ग करने पर,$y^2 = 1 + (y')^2$,अर्थात $(y')^2 = y^2 - 1$। अतः,$y' = \pm \sqrt{y^2 - 1}$। चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{\sqrt{y^2 - 1}} = \pm dx$। समाकलन करने पर,$\ln|y + \sqrt{y^2 - 1}| = \pm x + C$। बिंदु $(0, 1)$ के लिए,$x=0$ पर $y=1$ रखने पर,$C=0$ प्राप्त होता है। अतः,$y + \sqrt{y^2 - 1} = e^x$ या $e^{-x}$। हल करने पर $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ प्राप्त होता है। साथ ही,$y=1$ भी एक हल है। अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

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