वक्र y=x^3-3x^2+2x और X-अक्ष द्वारा घिरा हुआ | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ है। वक्र जहाँ $X$-अक्ष को काटता है, उन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए, हम $y = 0$ रखते हैं: $x(x^2 - 3x + 2) = 0

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$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया वक्र $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ है। वक्र जहाँ $X$-अक्ष को काटता है, उन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए, हम $y = 0$ रखते हैं: $x(x^2 - 3x + 2) = 0$ $x(x - 1)(x - 2) = 0$ अतः, वक्र $X$-अक्ष को $x = 0, 1, 2$ पर काटता है। क्षेत्रफल $\int_0^2 |y| dx = \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx + \left| \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx \right|$ द्वारा दिया जाता है। पहला भाग: $\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_0^1 = (\frac{1}{4} - 1 + 1) - 0 = \frac{1}{4}$. दूसरा भाग: $\int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_1^2 = (\frac{16}{4} - 8 + 4) - (\frac{1}{4} - 1 + 1) = (4 - 8 + 4) - \frac{1}{4} = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$. इसका निरपेक्ष मान $|-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$ है। कुल क्षेत्रफल = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई।

वक्र $y=x^3-3x^2+2x$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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