y^{2}=8x और y=sqrt{2}x द्वारा घिरा हुआ क्षेत् | vedclass

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Question

(C) सबसे पहले,$y^{2}=8x$ और $y=\sqrt{2}x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:$(\sqrt{2}x)^{2}=8x \implies 2x^{2}=8x \implies 2x(x-4)=0$.अतः,$x=0$ और $x=4

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$\frac{13\sqrt{2}}{6}$

Vedclass · Answer

(C) सबसे पहले,$y^{2}=8x$ और $y=\sqrt{2}x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:$(\sqrt{2}x)^{2}=8x \implies 2x^{2}=8x \implies 2x(x-4)=0$.अतः,$x=0$ और $x=4$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,4\sqrt{2})$ हैं।परवलय $y^{2}=8x$ और रेखा $y=\sqrt{2}x$ द्वारा घिरा कुल क्षेत्रफल है:$A_{total} = \int_{0}^{4} (\sqrt{8x} - \sqrt{2}x) dx = \int_{0}^{4} (2\sqrt{2}\sqrt{x} - \sqrt{2}x) dx$$= 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} ight]_{0}^{4} - \sqrt{2} \left[ \frac{x^{2}}{2} ight]_{0}^{4} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 8 - \sqrt{2} \cdot \frac{16}{2} = \frac{32\sqrt{2}}{3} - 8\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.त्रिभुज $y=\sqrt{2}x$,$x=1$ और $y=2\sqrt{2}$ द्वारा बनता है।$x=1$ पर,रेखा $y=\sqrt{2}x$ से $y=\sqrt{2}$ प्राप्त होता है। बिंदु $(1, \sqrt{2})$ है।क्षैतिज रेखा $y=2\sqrt{2}$,$y=\sqrt{2}x$ को $2\sqrt{2}=\sqrt{2}x \implies x=2$ पर काटती है।ऊर्ध्वाधर रेखा $x=1$,$y=2\sqrt{2}$ को $(1, 2\sqrt{2})$ पर काटती है।त्रिभुज के शीर्ष $(1, \sqrt{2})$,$(2, 2\sqrt{2})$ और $(1, 2\sqrt{2})$ हैं।त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई} = \frac{1}{2} 	imes (2-1) 	imes (2\sqrt{2}-\sqrt{2}) = \frac{1}{2} 	imes 1 	imes \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.वांछित क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है:$Area = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{16\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{6} = \frac{13\sqrt{2}}{6}$.

$y^{2}=8x$ और $y=\sqrt{2}x$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल जो $y=\sqrt{2}x$,$x=1$ और $y=2\sqrt{2}$ द्वारा बने त्रिभुज के बाहर स्थित है,वह किसके बराबर है?

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$y^2=x$ और $y=x$ वक्रों के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि वक्र $y = \min \{\sin x, \cos x\}$ और $x$-अक्ष के बीच $x = -\pi$ से $x = \pi$ तक घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ है। तो $A^2$ का मान ........... है।

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