समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल,जिसके विकर्ण $\vec{d}_1 = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{d}_2 = \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ हैं,किसके बराबर है?

यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ दो सदिश हैं,और $\vec{c}$ एक इकाई सदिश है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है और $\vec{b}$ के लंबवत है,तो $\vec{c} \cdot (\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}=\overrightarrow{0}$ या $\vec{b}=\overrightarrow{0}$ है,तो $\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}$ होता है। क्या इसका विलोम सत्य है? एक उदाहरण देकर अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a} \times \vec{b} = 2(\vec{a} \times \vec{c})$ है। यदि $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 4, |\vec{c}| = 2$ है, और $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है, तो $|\vec{a} \cdot \vec{c}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ एक त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश हैं,तो दर्शाइए कि $\frac{1}{2}[\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}+\vec{a} \times \vec{b}]$ त्रिभुज का सदिश क्षेत्रफल देता है। अतः,तीन बिंदुओं $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के संरेख होने की शर्त ज्ञात कीजिए। त्रिभुज के तल के लंबवत इकाई सदिश भी ज्ञात कीजिए।

यदि $a = i - j$,$b = i + j$,$c = i + 3j + 5k$ और $n$ एक इकाई सदिश है ताकि $b \cdot n = 0$ और $a \cdot n = 0$ हो,तो $|c \cdot n|$ का मान क्या होगा?