क्षेत्र {(x, y): x^2 leq y leq |x^2-4|, y geq | vedclass

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Question

(B) क्षेत्र $\{(x, y): x^2 \leq y \leq |x^2-4|, y \geq 1\}$ द्वारा परिभाषित है। $y$-अक्ष के सापेक्ष समरूपता के कारण,कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में

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$\frac{4}{3}(4 \sqrt{2}-1)$

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(B) क्षेत्र $\{(x, y): x^2 \leq y \leq |x^2-4|, y \geq 1\}$ द्वारा परिभाषित है। $y$-अक्ष के सापेक्ष समरूपता के कारण,कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल का दोगुना है। $x \geq 0$ के लिए,वक्र $y = x^2$ और $y = |x^2-4|$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु: $x^2 = 4-x^2 \implies 2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}$। $x = \sqrt{2}$ पर,$y = 2$ है। क्षेत्र नीचे की ओर $y=1$ द्वारा परिबद्ध है। $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $1 \leq y \leq 2$ के लिए,$x^2 \leq y \implies x \leq \sqrt{y}$। $2 \leq y \leq 4$ के लिए,$y \leq 4-x^2 \implies x^2 \leq 4-y \implies x \leq \sqrt{4-y}$। क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{1}^{2} \sqrt{y} \, dy + \int_{2}^{4} \sqrt{4-y} \, dy \right]$. $= 2 \left[ \left( \frac{2}{3} y^{3/2} \right)_{1}^{2} + \left( -\frac{2}{3} (4-y)^{3/2} \right)_{2}^{4} \right]$. $= 2 \left[ \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1) + \frac{2}{3} (2)^{3/2} \right] = \frac{4}{3}(4\sqrt{2}-1)$।

क्षेत्र $\{(x, y): x^2 \leq y \leq |x^2-4|, y \geq 1\}$ का क्षेत्रफल है

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