પ્રદેશ {(x, y):|x-y| leq y leq 4 sqrt{x}} નું | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ પ્રદેશ $|x-y| \leq y \leq 4 \sqrt{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.આ બે અસમતાઓ સૂચવે છે: $y \geq |x-y|$ અને $y \leq 4 \sqrt{x}$.$y \geq |x-y|$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1024}{3}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ પ્રદેશ $|x-y| \leq y \leq 4 \sqrt{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.આ બે અસમતાઓ સૂચવે છે: $y \geq |x-y|$ અને $y \leq 4 \sqrt{x}$.$y \geq |x-y|$ પરથી,આપણને $-y \leq x-y \leq y$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x \geq 0$ અને $x \leq 2y$,અથવા $y \geq \frac{x}{2}$ થાય છે.$y \leq 4 \sqrt{x}$ પરથી,આપણને $y^2 \leq 16x$ મળે છે (જ્યાં $y \geq 0$).$y = \frac{x}{2}$ અને $y = 4 \sqrt{x}$ ના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$\frac{x}{2} = 4 \sqrt{x} \Rightarrow x = 8 \sqrt{x} \Rightarrow x^2 = 64x \Rightarrow x(x-64) = 0$ લઈએ.આમ,છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 64$ પર છે.$x \in [0, 64]$ માટે,વક્ર $y = 4 \sqrt{x}$ એ રેખા $y = \frac{x}{2}$ ની ઉપર આવેલો છે.ક્ષેત્રફળ $\int_0^{64} (4 \sqrt{x} - \frac{x}{2}) dx$ દ્વારા મળે છે.$= \left[ 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{4} \right]_0^{64} = \left[ \frac{8}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{4} \right]_0^{64}$.$= \frac{8}{3} (64)^{3/2} - \frac{64^2}{4} = \frac{8}{3} (512) - \frac{4096}{4} = \frac{4096}{3} - 1024 = \frac{4096 - 3072}{3} = \frac{1024}{3}$.

પ્રદેશ $\{(x, y):|x-y| \leq y \leq 4 \sqrt{x}\}$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Similar Questions

$x-$ અક્ષની ઉપર અને $x^{2}+y^{2}=8x$ વર્તુળ તથા $y^{2}=4x$ પરવલયની અંદર આવતા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

વક્ર $y = \sin(\pi x)$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા $x \in [0, 2]$ માટે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ છે.

$sine$ અને $cosine$ વક્ર વચ્ચે સમાવિષ્ટ એક પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

વક્ર $x + 2y + 8 = 0$ અને રેખાઓ $y = -3$ તથા $y = -1$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ છે.

$x=0$ અને $x=2 \pi$ વચ્ચે વક્ર $y=\sin x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module