क्षेत्र {(x, y):|x-y| leq y leq 4 sqrt{x}} का | vedclass

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Question

(B) दिया गया क्षेत्र $|x-y| \leq y \leq 4 \sqrt{x}$ द्वारा परिभाषित है।यह दो असमानताओं को दर्शाता है: $y \geq |x-y|$ और $y \leq 4 \sqrt{x}$।$y \geq |x

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$\frac{1024}{3}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया क्षेत्र $|x-y| \leq y \leq 4 \sqrt{x}$ द्वारा परिभाषित है।यह दो असमानताओं को दर्शाता है: $y \geq |x-y|$ और $y \leq 4 \sqrt{x}$।$y \geq |x-y|$ से,हमें $-y \leq x-y \leq y$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x \geq 0$ और $x \leq 2y$,या $y \geq \frac{x}{2}$ हो जाता है।$y \leq 4 \sqrt{x}$ से,हमें $y^2 \leq 16x$ प्राप्त होता है (जहाँ $y \geq 0$)।$y = \frac{x}{2}$ और $y = 4 \sqrt{x}$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने के लिए,हम $\frac{x}{2} = 4 \sqrt{x} \Rightarrow x = 8 \sqrt{x} \Rightarrow x^2 = 64x \Rightarrow x(x-64) = 0$ रखते हैं।अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 64$ पर हैं।$x \in [0, 64]$ के लिए,वक्र $y = 4 \sqrt{x}$ रेखा $y = \frac{x}{2}$ के ऊपर स्थित है।क्षेत्रफल $\int_0^{64} (4 \sqrt{x} - \frac{x}{2}) dx$ द्वारा दिया जाता है।$= \left[ 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{4} \right]_0^{64} = \left[ \frac{8}{3} x^{3/2} - \frac{x^2}{4} \right]_0^{64}$.$= \frac{8}{3} (64)^{3/2} - \frac{64^2}{4} = \frac{8}{3} (512) - \frac{4096}{4} = \frac{4096}{3} - 1024 = \frac{4096 - 3072}{3} = \frac{1024}{3}$.

क्षेत्र $\{(x, y):|x-y| \leq y \leq 4 \sqrt{x}\}$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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